Признаки параллелограмма

Рассмотрим 3 признака параллелограмма.

1.Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны,то этот четырехугольник  — параллелограмм .

Доказательство:

Пусть в четырехугольнике ABCD стороны AB и СD параллельны и AB = CD (см рис 1) . Проведем диагональ AC,разделяющую данный четырехугольник на два треугольника: ABC и CDA . Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними( AC - общая сторона, AB=CD по условию, ∠1 =∠2 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AC), поэтому ∠3= ∠4.Но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечении прямых AD и BC секущей AC,следовательно, AD ∥ BC. 

Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, а значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм.

2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Проведем диагональ AC данного четырехугольника ABCD, разделяющую его на треугольники ABC и CDA (cм рис 1) . Эти треугольники равны по трем сторонам (AC -общая сторона, AB = CD, BC = DA по условию), поэтому ∠1 =∠2. Отсюда  следует,что  AB ∥ CD . Так как AB = CD и AB ∥ CD, то по первому признаку четырехугольник ABCD - параллелограмм.

3.Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечением делятся  пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам(см рис 2).Треугольники AOB и COD равны по первому признаку равенства треугольников (AO = OC,BO = OD по условию, ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы ), поэтому AB = CD ∠1 = ∠2. Из равенства углов 1 и 2 следует, что AB ∥ CD.

Итак, в четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны и параллельны, значит, по первому признаку четырехугольник ABCD - параллелограмм .