Формулы сокращенного умножения 

Формула разности квадратов: a² - b² = (a-b)(a+b)

Показывает,что тождественно равны разность квадратов двух выражений и произведение разности и суммы двух данных выражений.

Данное тождество можно рассматривать с двух позиций,которые позволяют преобразовывать выражения  двух типов:

1. правую часть тождества (a-b)(a+b) можно представить в виде левой a² - b² , то есть воспользоваться формулой сокращенного умножения
2. левую часть тождества a² - b² можно представить в виде правой (a-b)(a+b),значит разложить на множители.

Например: необходимо перемножить числа 54 и 46.

54 * 46 = (50+4)(50-4) = 50² - 4² = 2500 - 16 = 2484.

Квадрат суммы двух выражений: (a+b)² = a² +2ab + b².

 - Многочлен,который равен сумме квадратов первого и второго выражений и удвоенному произведению первого и второго выражений.

Это тождество можно рассматривать с двух позиций ,которые позволяют преобразовывать выражения двух типов:

1. правую часть тождества a² +2ab + b² можно представить в виде левой части (a+b)², то есть воспользоваться формулой сокращенного умножения.
2. левую часть тождества (a+b)² можно представить в виде правой a² +2ab + b²  ,следовательно,разложить на множители. 

Например:следует преобразовать выражение (5a + 4b²)².

(5a + 4b²)²  = 25a² +40ab² +16b⁴.

 Квадрат разности для двух выражений: (a-b)² = (a² - 2ab + b²)

- Многочлен,который равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений  и плюс квадрат второго выражения.

Данное тождество можно рассматривать с двух позиций,которые позволяют преобразовывать выражения двух типов:

1. правую часть тождества a² - 2ab + b² можно представить в виде левой  (a-b)² , то есть воспользоваться формулой сокращенного умножения.
2. левую часть тождества (a-b)² можно представить в виде правой a² - 2ab + b²,значит,разложить на множители.

Например,следует разложить на множители многочлен 25a² +49c² - 70ac.

25a² + 49c² - 70ac = 25a²- 70ac + 49c² = (5a - 7c)²

Квадрат суммы трех выражений:

(a+b+c)² = a²+b²+c² +2ab+2bc+2ac 

- Многочлен,который равен сумме квадратов первого,второго и третьего выражений и удвоенному произведению первого и второго выражений,удвоенному произведению первого и третьего выражений,удвоенному произведению второго и третьего выражений.

Это тождество можно рассматривать с двух позиций,которые помогают преобразовывать выражения двух типов:

1. правую часть тождества a²+b²+c² +2ab+2bc+2ac можно представить в виде левой (a+b+c)², то есть воспользоваться формулой сокращенного умножения.
2. левую часть тождества (a+b+c)² можно представить в виде левой a²+b²+c² +2ab+2bc+2ac, следовательно,разложить на множители.

Например,необходимо разложить на множители многочлен:

9n² +4m² +z² +12nm +4mz +6nz.

9n² +4m² +z² +12nm +4mz +6nz = (3n+2m+z)²

Сумма кубов двух выражений: a³ + b³ = (a+b)(a²- ab + b²)

- Произведение суммы данных выражений и неполного квадрата их разности.

Неполным квадратом разности выражений a и b называется выражение a² - 2ab + b² ,в котором нет множителя 2

Данное тождество можно рассматривать с двух позиций,они позволяют преобразовывать выражения двух типов:

1. правую часть тождества (a+b)(a²- ab + b²) можно представить в виде левой a³ + b³ ,то есть воспользоваться формулой сокращенного умножения.
2. левую часть тождества a³ + b³ можно представить в виде правой (a+b)(a²- ab + b²),значит разложить на множители.

Например,необходимо разложить на множители многочлен 27a³ + 8b³.

27a³ + 8b³ = (3a+2b)(9a² - 6ab + 4b²)

Разность кубов двух выражений: a³ - b³ = (a - b)(a² +ab +b²) 

- Произведение разности данных выражений и неполного квадрата их суммы.

Неполным квадратом суммы выражений a и b называется выражение a² +2ab +b², в котором нет множителя 2.

Это тождество можно рассматривать с двух позиций,которые позволяют преобразовывать выражения двух типов:

1. правую часть тождества (a - b)(a² +ab +b²) можно представить в виде левой a³ - b³ , то есть воспользоваться формулой сокращенного умножения.
2. левую часть тождества a³ - b³ можно представить в виде правой (a - b)(a² +ab +b²),значит разложить на множители.

Например,необходимо разложить на множители многочлен 64d⁶ - 8c³.

64d⁶ - 8c³ = (4d² - 2c)(16d⁴ +8d²c + 4c²).

Куб суммы двух выражений: (a+b)³ = a³ +3a²b +3ab² +b³.

- Многочлен,который равен сумме кубов данных выражений,утроенному произведению квадрата первого выражения и второго выражения и утроенному произведению первого выражения и квадрата второго выражения.

Данное тождество можно рассматривать с двух позиций,они позволяют преобразовывать выражения двух типов:

1. правую часть тождества a³ +3a²b +3ab² +b³ можно представить в виде левой (a+b)³ ,то есть воспользоваться формулой сокращенного умножения.
2. левую часть тождества (a+b)³ можно представить в виде правой a³ +3a²b +3ab² +b³ ,следовательно,разложить на множители.

Например,необходимо разложить на множители многочлен c³ +6c²d +12cd² +8d³. 

c³ +6c²d +12cd² +8d³ = (c+2d)³.

Куб разности двух выражений:  (a - b)³ = a³ - 3a²b +3ab² - b³.

- Многочлен,который равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго выражения плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго выражения минус куб второго выражения.

Это тождество можно рассматривать с двух позиций,которые позволяют преобразовывать выражения двух типов:

1. правую часть тождества a³ - 3a²b +3ab² - b³ можно представить в виде левой (a - b)³, то есть воспользоваться формулой сокращенного умножения.
2. левую часть тождества  (a - b)³  можно представить в виде правой a³ - 3a²b +3ab² - b³,следовательно,разложить на множители.

Например,необходимо разложить на множители многочлен x³ - 8y³ - 6x²y +12xy².

x³ - 8y³ - 6x²y +12xy² = (x-2y)³.

Например,необходимо преобразовать выражение (3a - 2c)³.

 (3a - 2c)³ = 27a³ - 54 a²c +36ac² - 8c³.